^Наверх

сколькими способами 6 студентов сдающих экзамен










Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания

Ориент. Микс. Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания.В науке и практике часто встречаются задачи, решая кото­рые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика - раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, состав­ленной по заданным правилам.Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.Задача 1. Сколькими способами можно построить 3 человек в шеренгу?Решение: а в с, а с вв а с, в с ас а в, с в а. Рп - число перестановок. Р 3 = 3 *2 *1= 6.Перестановкой из п элементов называется каждоераспо­ложение этих элементов в определенном порядке.Рn = 1*2*3(n - 2)(n - 1)*n = п. где п! называется факториалом числа п. Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.Задача 2. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслужи­вание?Решение: Р 5 = 5!= 5*4 *3 *2 *1 =120.Задача 3. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?а) учебник;Решение: Р 7 = 7*6*5*4*3*2* 1 = 5040.Р 5 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.Р 6 = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.Задача 4. На дверях четырех одинаковых кабинетов надо по­весить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?Решение: Р 4 = 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24.Размещением из п элементов по к (к < п) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в опреде­ленном порядке из данных п элементов.Ank = п(п - 1)(n - 2). ( п - (к - 1)).Задача 5. Учащиеся 2 класса изучают 8 предметов. Скольки­ми способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?Решение: A 84 = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680.Задача 6. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса? Решение: A 153 = 15 • 14 • 13 = 2730.Задача 7. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экза­мен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 20 одномест­ных столов?Решение: A 206 = 20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 =Сочетанием из п элементов по к называется любое множе­ство, составленное из к элементов, выбранных из данных п эле­ментов.Задача 8. Иван Николаевич купил билет лото «6 из 49. Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49. Сколько существует способов это сделать?Решение:Задача 9. В классе 25 учеников. Сколькими способами учи­тель может выбрать в этом классе для опроса:а) 5 разных учеников;









› Презентации › Презентация "Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания."9 класс

Презентация "Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания."9 класс

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «ИнфоурокНайдите подходящий для Вас курс. Описание презентации по отдельным слайдам:1 слайд 2 слайд. Описание слайда:повторить элементы комбинаторики; научить исследовать и решать задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам; сформировать умение использовать формулы ; закрепить умение решать задачи комбинаторики. Цели: 3 слайд. Описание слайда: В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам. Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются ПЕРЕСТАНОВКИ ЗАДАЧА 1. Сколькими способами можно построить 3 человека в шеренгу? Решение: авс, асв, вас, вса, сав, сва Рn – число перестановок. Р 3 =3?2?1 = 6 4 слайд. Описание слайда:ЗАДАЧА 2. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание? Решение: Р 5 =5! =5?4 ?3 ?2 ?1=120 ЗАДАЧА 3. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова( необязательно осмысленных)? а) УЧЕБНИК; б) АВТОР; в) ФОНАРЬ 5 слайд. Описание слайда:РАЗМЕЩЕНИЕМ из n элементов по k (k ? n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов k An = n (n -1)(n -2) … (n – (k – 1)) 6 слайд. Описание слайда:ЗАДАЧА 5. Учащиеся 2 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета? 4 Решение: А 8 = 8?7 ?6 ?5 = 1680 ЗАДАЧА 6. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса? ЗАДАЧА 7. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов? 7 слайд. Описание слайда:ЗАДАЧА 8. Иван Николаевич купил билет лото « 6 из 49. Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49. Сколько существует способов это сделать? ЗАДАЧА 9. В классе 25 учеников. Сколькими способами учитель может выбрать в этом классе для опроса: а) 5 разных учеников; б) 6 разных учеников; в) 20 разных учеников. 8 слайд. Описание слайда:1. Вычислить: а) 5! ; б) 7. в) 10. г) 100. д) 15. е) 12! . 2! 5! 8! 99! 13!12! 9!3! 2. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? 3. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?








Делится ли 50. а) на 75;            б) 77;            в) 159.Имеются три книги трех различных авторов: Толстого Л. Н. (Т); Пушкина А. С. (П); Достоевского Ф. М. (Д). Сколькими способами из этих книг можно расположить на полке:а) одну книгу; б) две книги; в) три книги?III. Формирование умений и навыков.На этом уроке следует решать упражнения не только на прямое применение формулы нахождения числа размещений, но и задачи повышенной сложности, а также задачи, имеющие несколько способов решения.№ 761.Р е ш е н и е. Выбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора имеет значение (какую точку какой буквой обозначим). О т в е т: 7 893 600 способов.№ 763.Р е ш е н и е. Выбираем  из  10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля). Используя метод исключения лишних вариантов, получаем:1·  2 · 3 · 4 · 5 · 7 · 8 · 9 · 9 = 544320.О т в е т: 544320.№ 764.Р е ш е н и е. Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:а) последней  цифрой  должна  быть  2  или  4;  количество  вариантов  (фиксирована 2) +  (фиксирована 4) = 2 ·  = 2 · 3 · 4 = = 24.б) последней  цифрой  должна  быть  5;  количество  вариантов  равно  (фиксирована 5) =  = 3 · 4 = 12.О т в е т: а) 24 числа; б) 12 чисел.Прежде чем приступить к самостоятельной работе, можно решить два задания повышенной сложности с факториалами.№ 837.Р е ш е н и е. Число оканчивается одним нулем, если среди множителей, на которые оно разлагается, есть одно число 10; оканчивается двумя нулями, если есть два множителя 10; и тремя нулями – если есть три множителя 10.Поскольку п! есть произведение п последовательных натуральных чисел, то в нем каждый второй множитель четный, то есть содержит в разложении число 2, а каждый пятый множитель кратен 5. Поэтому каждый пятый множитель в п! добавляет в разложение этого числа одно число 10.Таким образом,а) 5! содержит двойки и одну 5, что дает один множитель 10, то есть 5! заканчивается одним нулем;б) 10! содержит двойки и две 5, что дает два множителя 10, то есть 10! оканчивается двумя нулями;в) 15! содержит двойки и три 5, что дает три множителя 10, то есть 15! оканчивается тремя нулями.О т в е т: а) 5. б) 10. в) 15!№ 840.Р е ш е н и еа)  = 42;   = 42;п · (п + 1) = 42; п = 6.З а м е ч а н и е: квадратное уравнение можно не решать, так как второй корень не будет натуральным числом.б)О т в е т: а) п = 6; б) п = 5. Самостоятельная работа.В а р и а н т  1Сколькими способами пять школьников, сдающих экзамен, могут занять места в классе, в котором стоят 20 одноместных столов?Решить уравнение:Сколькими нулями оканчивается число 12!?В а р и а н т  2Сколькими способами семь малышей могут занять места в комнате детского сада, в которой стоит 18 детских стульчиков?Решить уравнение:Сколькими нулями оканчивается число 16!?Р е ш е н и е. В а р и а н т  1Выбираем пять столов для школьников из 20 имеющихся (порядок выбора учитывается):= 16 · 17 · 18 · 19 · 20 = 1 860 480.О т в е т: 1 860 480 способов.п! = 7 (п – 1).     п (п – 1)! = 7 (п – 1).     п = 7.О т в е т: п = 7.В числе 12! содержится две пятерки и двойки, что дает два множителя 10. Значит, 12! заканчивается двумя нулями.О т в е т: двумя нулями.В а р и а н т  2Выбираем семь стульчиков из 18 имеющихся (порядок выбора имеет значение):= 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 = 160 392 960.О т в е т: 160 392 960 способов.п! = 12 (п – 1).     п (п – 1)! = 12 (п – 1).     п = 12.О т в е т: п = 12.В числе 16! содержится три пятерки и двойки, что дает три множителя 10. Значит, 16! заканчивается тремя нулями.О т в е т: тремя нулями. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Что называется размещением из п элементов по k?– Запишите формулу нахождения  через факториалы.– Запишите  по комбинаторному правилу умножения.Домашнее задание: № 835, № 836.З а д а ч а. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:а) не встречаются цифры 6 и 7;б) цифра 8 является последней?Комбинаторные задачи на нахождение числа перестановок из п элементов, сочетаний и размещений из п элементов по k (k ? п)









Задание для решения в аудитории

2.1. Девочка помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 3, 5, 7, но забыла в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.192.2.Сколько четырехзначных чисел, в записи которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 2, 3, 5, 6, 8; б) 0, 1, 4, 7, 9.2.3.Сколько можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 7 (без их повторения) различных трехзначных чисел, которые являются: а) четными; б) кратными 5?2.4.У студента на полке стоят 8 книг, 3 из которых на английском языке. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все книги на английском языке стояли рядом в произвольном порядке?2.5.На станции 10 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 железнодорожных состава?2.6.В магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?2.7.Найдите значения выражений: 2.8. От лаборатории, в которой работает 11 сотрудников, включая заведующего, нужно отправить 5 человек на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лаборатории должен поехать на конференцию, б) заведующий лаборатории должен остаться.2.9. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному виду на каждого)?2.10.На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их выступления, если: а) Б не должен выступать раньше А; б) Б должен выступать сразу после А?2.11.Решите уравнение относительно n; n 2 N:

Задание для самостоятельной работы

2.14.Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр 0, 2, 4, 5, 6, 7?2.15.Семь студентов на занятиях по физкультуре выстраиваются в ряд. В их число входят Олег и Фёдор. Найдите число возможных комбинаций, если: а) Олег должен находиться в конце ряда; б) Олег должен находиться в начале ряда, а Фёдор в конце ряда; в) Олег и Фёдор должны стоять рядом.2.16.В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы окрашиваются разными красками из набора, содержащего краски 10 цветов. Сколькими способами это можно сделать?2.17.Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоят 20 одноместных столов?2.18.На плоскости отмечено 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?2.19.Бригада состоит из 12 маляров и 5 плотников. Для ремонта объекта необходимо выделить 4 маляра и 2 плотника. Сколькими способами это можно сделать?2.20.В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырех человек; б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвертой досках?212.21. Номер машины в некотором городе составляют из двух различных букв, взятых из набора A, B, C, D, E и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?2.22. Староста подсчитал, что существует 378 способов выбора двух делегатов из группы на конференцию. Сколько студентов в группе?2.23. В правление кооператива избрано 9 человек. Из них нужно выбрать председателя, его заместителя, секретаря и бухгалтера. Сколькими способами это можно сделать?2.24.Решите уравнения относительно n; n 2 N: